在△ABC中.D为AC上一点.且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$.P为BD上一点.且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$.则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是( )A．10B．9C．8D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

3．在△ABC中，D为AC上一点，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$，P为BD上一点，且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是（　　）

A．

10

B．

9

C．

8

D．

11

分析用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AP}$，根据三点共线得出m，n的关系，利用基本不等式得出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答解：∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$，∴$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AD}$，
∵B，P，D三点共线，∴m+4n=1．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+4n}{m}+\frac{m+4n}{n}$=$\frac{4n}{m}+\frac{m}{n}$+5≥2$\sqrt{4}$+5=9，
当且仅当$\frac{4n}{m}=\frac{m}{n}$时取等号．
故选：B．

点评本题考查了平面向量的基本定理，基本不等式的应用，属于中档题．

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