题目内容
设x，y∈R，向量
=(x+
，y) ，
=(x-
，y)，且|
| +|
| =4．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点P（0，2）作直线l，交曲线C于A，B两点，又O为坐标原点．若
•
=
，求直线l的倾斜角．
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点P（0，2）作直线l，交曲线C于A，B两点，又O为坐标原点．若
| OA |
| OB |
| 12 |
| 5 |
分析：（1）根据所给的向量的坐标和两个向量的模长之和，得到点（x，y）表示到A（
，0）与B（-
，0）两个点的距离之和等于定值4，且4＞2
，得到点（x，y）在以A，B为焦点的椭圆上，且2a=4，a=2，c=
，得到椭圆的方程．
根据题意设出直线的方程，设出要用的点的坐标，直线的方程与椭圆的方程联立，整理出关于x的一元二次方程，整理判别式与两根的和与积，得到纵标之积，根据所给的两个向量的数量积，列出关于k的方程，得到结果．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
根据题意设出直线的方程，设出要用的点的坐标，直线的方程与椭圆的方程联立，整理出关于x的一元二次方程，整理判别式与两根的和与积，得到纵标之积，根据所给的两个向量的数量积，列出关于k的方程，得到结果．
解答：解：（1）∵向量
=(x+
，y) ，
=(x-
，y)，且|
| +|
| =4．
∴
+
=4
∴点（x，y）表示到A（
，0）与B（-
，0）两个点的距离之和等于定值4，且4＞2
=AB
∴点（x，y）在以A，B为焦点的椭圆上，且2a=4，a=2，c=
∴b2=4-3=1
∴椭圆的方程是
+y2=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵点P（0，2）作直线l，由题意知直线的斜率一定存在设为k，
∴直线的方程是y-2=k（x-0）
直线与椭圆的方程联立得（1+4k2）x2+16kx+12=0
由△＞0得k2＞
x1+x2=-
，x1x2=
∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=
+4
∵O为坐标原点，
•
=
，
∴x1x2+y1y2=
∴
+
+4=
∴k2=1，满足使得判别式大于0，
∴k=±1
∵直线的倾斜角的范围是[0，π）
∴直线的倾斜角是
或
．
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
∴
(x+
|
(x-
|
∴点（x，y）表示到A（
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴点（x，y）在以A，B为焦点的椭圆上，且2a=4，a=2，c=
| 3 |
∴b2=4-3=1
∴椭圆的方程是
| x2 |
| 4 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵点P（0，2）作直线l，由题意知直线的斜率一定存在设为k，
∴直线的方程是y-2=k（x-0）
直线与椭圆的方程联立得（1+4k2）x2+16kx+12=0
由△＞0得k2＞
| 3 |
| 4 |
x1+x2=-
| 16k |
| 1+4k2 |
| 12 |
| 1+4k2 |
∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=
| -20k2 |
| 1+4k2 |
∵O为坐标原点，
| OA |
| OB |
| 12 |
| 5 |
∴x1x2+y1y2=
| 12 |
| 5 |
∴
| 12 |
| 1+4k2 |
| -20k2 |
| 1+4k2 |
| 12 |
| 5 |
∴k2=1，满足使得判别式大于0，
∴k=±1
∵直线的倾斜角的范围是[0，π）
∴直线的倾斜角是
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，本题解题的关键是根据所给的向量的模长的几何意义，看出轨迹，再根据联立方程来解决问题，注意方程联立时，一元二次方程的形式不要出错，注意验证判别式大于0，本题是一个难题．
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设x，y∈R，向量
=(x，1)，
=(1，y)，
=（2，-4），且
⊥
，
∥
，则
+
=（ ）
| a |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
| a |
| b |
| A、（3，3） | ||
| B、（3，-1） | ||
| C、（-1，3） | ||
D、（3，
|