Question

2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y²=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4$\sqrt{2}$，则双曲线C的实轴长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4$\sqrt{2}$，进行求解即可求得结论．

解答 解：设等轴双曲线C的方程为x²-y²=λ．（λ＞0），①
∵抛物线y²=16x，2p=16，p=8，∴$\frac{p}{2}$=4．
∴抛物线的准线方程为x=-4．
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-4的两个交点A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
则|AB|=|y-（-y）|=2y=4$\sqrt{2}$，∴y=2$\sqrt{2}$．
将x=-4，y=2$\sqrt{2}$代入①，得（-4）²-（2$\sqrt{2}$）²=λ，∴λ=8
∴等轴双曲线C的方程为x²-y²=8，即$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$
∴a=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，C的实轴长为2a=4$\sqrt{2}$．
故选：D

点评 本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，利用待定系数法进行求解是解决本题的关键．