Question

2．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧$\widehat{AB}$是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km²），∠BOP=θ
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，
（2）存在，存在，S′=$\frac{1}{2}$（3cosθ+3$\sqrt{3}$sinθ-1），根据两角和差的余弦公式即可求出．

解答 解：（1）在△COP中，
CP²=CO²+OP²-2OC•OPcosθ=10-6cosθ，
从而△CDP得面积S_△CDP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CP²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-3cosθ），
又因为△COP得面积S_△COP=$\frac{1}{2}$OC•OP=$\frac{3}{2}$sinθ，
所以S=S_△CDP+S_△COP-S_扇形OBP=$\frac{1}{2}$（3sinθ-3$\sqrt{3}$cosθ-θ）+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，0＜θ＜θ₀＜π，cosθ₀=$\frac{1-\sqrt{105}}{12}$，
当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ₀，此时在△COP中，OP=1，
OC=3，∠CPO=30°，CP=$\sqrt{10-6cos{θ}_{0}}$=6sinθ₀，cosθ₀=$\frac{1±\sqrt{105}}{12}$，
（2）存在，S′=$\frac{1}{2}$（3cosθ+3$\sqrt{3}$sinθ-1），
令S′=0，得sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{6}$，
当0＜θ＜θ₀＜π，S′＞0，所以当θ=θ₀时，S取得最大值，
此时cos（θ₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{35}}{6}$，
∴cosθ₀=cos[（θ₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（θ₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（θ₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1-\sqrt{105}}{12}$

点评 本题考查了利用三角形有关知识解决实际问题，考查了转化思想，解决问题的能力，属于中档题．