Question

18．若函数f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有两个极值点x₁，x₂，其中-$\frac{1}{2}$＜a＜0，b＞0，且f（x₂）=x₂＞x₁，则方程2a[f（x）]²+bf（x）-1=0的实根个数为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由函数f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有两个极值点x₁，x₂，可得2ax²+bx-1=0有两个不相等的正根，必有△=b²+8a＞0．而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x₁或x₂．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解的个数．

解答 解：解：∵函数f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有两个极值点x₁，x₂，
f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$，
即为2ax²+bx-1=0有两个不相等的正根，∴△=b²+8a＞0
解得，x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，
∵x₁＜x₂，-$\frac{1}{2}$＜a＜0，b＞0，且，b＞0
∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，${x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，
而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x₁或x₂．，即有0＜x₁＜x₂，：∵x₁，x₂＞0又${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{1}{2a}＞1$．
∴x₂＞1，∵f（1）=-b＜0∴f（x₁）＜0，f（x₂）＞0．
①根据f′（x）画出f（x）的简图，
∵f（x₂）=x₂，由图象可知方程f（x）=x₂有两解，方程f（x）=x₁有三解．
综上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有5个实数解．
即关于x的方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的共有5不同实根．
故选：C．

点评 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了图象平移的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．属于难题．