Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*）．
（1）求出S₁，S₂，S₃的值，并求出S_n及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹•（a_n+a_n+1）（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设c_n=（n+1）•a_n（n∈N^*），在数列{c_n}中取出m（m∈N^*且m≥3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列{d_n}，若对任意的数列{d_n}，均有d₁+d₂+…+d_n≤M，试求M的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1及（S_n-1）²=a_nS_n整理可知S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，通过计算出前三项的值，利用归纳推理猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，进而利用数学归纳法证明即可；
（2）通过（1）裂项可知b_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；
（3）通过（1）可知c_n=$\frac{1}{n}$，进而问题转化为求首项为1、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列的前n项和．

解答 解：（1）∵a_n=S_n-S_n-1，
∴（S_n-1）²=a_nS_n=（S_n-S_n-1）S_n，即S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
又∵（S1-1）2=S12，即S₁=$\frac{1}{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
…
猜想：S_n=$\frac{n}{n+1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，命题成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有S_k=$\frac{k}{k+1}$，
则S_k+1=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①②可知S_n=$\frac{n}{n+1}$．
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$（n≥2），
又∵a₁=S₁=$\frac{1}{2}$满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）由（1）可知，b_n=（-1）ⁿ⁺¹•（a_n+a_n+1）=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
特别地，当n为奇数时，n+1为偶数，此时b_n+b_n+1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+3}$，
①若n为偶数，则T_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-1+b_n）
=（1-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+2}$）
=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$；
②当n为奇数且n＞1时，T_n=T_n-1+b_n，
故T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，
又∵T₁=b₁=$\frac{2}{3}$满足上式，
∴当n为奇数时，T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$；
由①②可知：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+\frac{1}{（n+1）（n+2）}，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（3）由（1）可知a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴c_n=（n+1）•a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*），
由题意可知需等比数列{d_n}的首项及公比均达到最大，显然首项为1、公比为$\frac{1}{2}$，
∴1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$[2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）]=2，
∴M的最小值为2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．