题目内容
14．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的$\frac{1}{4}$，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ | B． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | D． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
分析 设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，运用点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．
解答 解：设双曲线的一个焦点为（c，0），
一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，
由题意可得$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=$\frac{1}{4}$•2c，
即有c=2b，由c2=a2+b2，可得c2=a2+$\frac{1}{4}$c2，
即有c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查渐近线方程和离心率公式的运用，属于基础题．
练习册系列答案
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19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，c是半焦轴距，P是双曲线上异于顶点的点，满足ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| A． | （1，1+$\sqrt{2}$） | B． | （$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$） | C． | （1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$） | D． | （1+$\sqrt{2}$，+∞） |
如图，点F1、F2为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左右焦点，点A、B、C分别为双曲线上三个不同的点，且AC经过坐标原点O，并满足$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{F_2}B}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{F_2}}=0$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{3}$．