Question

4．已知直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0，A、B两点极坐标分别为（1，π）、（1，0）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上取一点P，求|AP|²+|BP|²的最值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得C的直角坐标方程，配方可得参数方程．
（2）A、B两点极坐标分别为（1，π）、（1，0），分别化为直角坐标：（-1，0），（1，0）．令P（cosα，2+sinα），则|AP|²+|BP|²=8sinα+12，利用sinα的值域即可得出最值．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0，
把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得C的直角坐标方程：x²+y²-4y+3=0，
配方为x²+（y-2）²=1，
可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）A、B两点极坐标分别为（1，π）、（1，0），
分别化为直角坐标：（-1，0），（1，0）．
令P（cosα，2+sinα），
则|AP|²+|BP|²=（cosα+1）²+（2+sinα）²+（cosα-1）²+（2+sinα）²=8sinα+12，
当sinα=-1时，有最小值4；当sinα=1时，有最大值20．

点评 本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．