Question

12．直线mx+y-3m+3=0与抛物线y²=4x的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{5}{2}$，0）
• B． （-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（0，+∞）
• C． （-∞，0）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 设斜率为1的平行弦的方程为y=x+t，代入抛物线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及中点坐标公式，求得中点轨迹方程，联立已知直线，求得交点，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：设斜率为1的平行弦的方程为y=x+t，
代入抛物线的方程y²=4x，可得x²+（2t-4）x+t²=0，
则△=（2t-4）²-4t²＞0，解得t＜1，
设弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
且x₁+x₂=4-2t，可得弦的中点坐标为（2-t，2），
即有平行弦的中点轨迹方程为y=2（x＞1），
代入直线mx+y-3m+3=0，可得x=$\frac{3m-5}{m}$＞1，
即为$\frac{2m-5}{m}$＞0，解得m＜0或m＞$\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查两直线的交点的求法，化简整理的运算能力，属于中档题．