Question

已知双曲线C：2x²－y²＝2与点P(1，2)．

(1)求过点P(1，2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．

(2)是否存在过P点的弦AB，使AB中点为P？

(3)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，代入C的方程，并整理得 　　(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0，(*) 　　当k＝±时，方程组有唯一解． 　　当k≠±时，由Δ＝0，得k＝． 　　∴当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点． 　　如图，当＜k＜或k＜或＜k＜时，l与C有两个交点． 　　(2)假设以P为中点的弦AB存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两个根，由韦达定理得 　　＝1，解得k＝1． 　　∴这样的弦存在，方程为y＝x＋1． 　　(3)假设弦AB以Q为中点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴2x12－y12＝2，2x22－y22＝2， 　　两式相减得2(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，∴2(x1－x2)＝y1－y2． 　　∴AB的斜率为2，但渐近线斜率为±，结合图形知直线AB与C无交点． 　　∴假设不正确，即以Q为中点的弦不存在．

提示：

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，特别是直线与双曲线的交点问题，以及解决直线与曲线相交问题的常用方法，同时考查分析、解决问题的能力及运算能力． 　　(1)l与双曲线C有无公共点或有几个公共点可通过方程解的情况作答．(2)、(3)可假设存在，然后求解，求出为存在，推出矛盾为不存在，弦中点问题可作差解答．