Question

10．设函数$f（x）=\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$，则f（-2016）+f（-2015）+…+f（0）+f（1）+…f（2017）=2017．

Answer 1

分析 计算f（x）+f（1-x）=1，再令所求和为S，由倒序相加求和，计算即可得到所求和．

解答 解：函数$f（x）=\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$，
可得f（x）+f（1-x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{2}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{2}^{x}}$=1．
即有S=f（-2016）+f（-2015）+…+f（0）+f（1）+…+f（2017），
S=f（2017）+f（2016）+…+f（1）+f（0）+…+f（-2016），
两式相加可得，2S=[f（-2016）+f（2017）]+[f（-2015）+f（2016）]+…
+[f（0）+f（1）]+[f（1）+f（0）]+…+[f（2017）+f（-2016）]=1+1+…+1
=1×2×2017，
解得S=2017．
故答案为：2017．

点评 本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求出f（x）+f（1-x）=1是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．