Question

5．已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，|φ|＜π，b为常数）的一段图象（如图所示）．
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A、b与ω的值，再求出φ的值，即可写出函数f（x）的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性，令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，求出函数的单调增区间，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，求出函数的单调减区间．

解答 解：（1）由题意可知A=$\frac{3-0}{2}$=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，
T=2[π-（-$\frac{π}{2}$）]=3π，ω=$\frac{2}{3}$，
当x=π时取得最小值0，所以0=$\frac{3}{2}$sin（$\frac{2}{3}$×π+φ）+$\frac{3}{2}$，
故：$\frac{2}{3}$×π+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得：φ=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
因为|φ|＜π，
所以φ=$\frac{5π}{6}$，
函数f（x）=$\frac{3}{2}$sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$）+$\frac{3}{2}$；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{8π}{6}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x≤-$\frac{2π}{6}$+2kπ，k∈Z，
-2π+3kπ≤x≤-$\frac{π}{2}$+3kπ，k∈Z，
∴该函数的单调增区间是[-2π+3kπ，-$\frac{π}{2}$+3kπ]，k∈Z；
同理，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得该函数的单调减区间是[-$\frac{π}{2}$+3kπ，π+3kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式以及单调性问题，是基础题目．