Question

1．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m³）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：

（1）根据折线图中的数据，完成表格：

年份	2013	2014	2015	2016
年份代号（x）	1	2	3	4
PM2.5指数（y）

（2）建立y关于x的线性回归方程；
（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．
附：回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中参数的最小二乘估计公式；
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．

解答 解：（1）

年份	2013	2014	2015	2016
年份代号（x）	1	2	3	4
PM2.5指数（y）	90	88	70	64

（2）$\overline{x}$=2.5，$\overline{y}$=78，
$\sum_{i=1}^{4}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=-48，$\sum_{i=1}^{4}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=5，
$\widehat{b}$=$\frac{-48}{5}$=-9.6，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=102，
∴y关于x的线性回归方程是：$\widehat{y}$=-9.6x+102；
（3）2017年的年份代号是5，当x=5时，$\widehat{y}$=-9.6×5+102=54，
∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m³．

点评 本题考查回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．