Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的a∈[1，4），都存在x₀∈（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据a的范围，求出f（x）的最大值，等价于13-3a+e^a+2a＞m，e^a-a+13＞m恒成立，令g（a）=e^a-a+13，a∈[1，4），根据函数的单调性求出g（a）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4，则f′（x）=x²-a，
当a≤0时，f′（x）≥0对x∈R成立，
所以函数f（x）的单调递增区间为R；
当a＞0时，f′（x）=x²-a=（x+$\sqrt{a}$）（x-$\sqrt{a}$），
令f′（x）＞0，得：x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$；
令f′（x）＜0，得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
所以函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，-$\sqrt{a}$）和（$\sqrt{a}$，+∞），
单调递减区间为：（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）；
（Ⅱ）因为a∈[1，4），∴$\sqrt{a}$∈[1，2），
由（Ⅰ）知函数在（2，3]上单调递增，
所以f（x）_max=f（3）=13-3a，
若对任意的a∈[1，4），都存在x₀（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，
等价于13-3a+e^a+2a＞m，e^a-a+13＞m恒成立．
令g（a）=e^a-a+13，a∈[1，4），
当a∈[1，4）时，g′（a）=e^a-1≥e-1＞0，
所以当a∈[1，4）时，g（a）≥g（1）=e+12，
故实数m的取值范围是：m≤e+12．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．