Question

2．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1+a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*，则$\lim_{n→∞}{a_{2n}}$=-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由已知推导出S_2n=$\frac{3}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{2n}}$），S_2n-1=1+$\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{3}^{2n-1}}）$，从而a_2n=S_2n-S_2n-1=$\frac{3}{8}（1-\frac{1}{{3}^{2n}}）$-[1+$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{2n-1}}$）]，由此能求出$\lim_{n→∞}{a_{2n}}$．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，${a_{n+1}}+{a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$，n∈N^*，
∴（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{2n-1}}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{9}^{n}}）}{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{3}{8}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$）=$\frac{3}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{2n}}$），
∴S_2n=$\frac{3}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{2n}}$），
a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）
=1+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{4}}+…+\frac{1}{{3}^{2n-2}}$=1+$\frac{\frac{1}{9}[1-\frac{1}{{3}^{2（n-1）}}]}{1-\frac{1}{9}}$=1+$\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{3}^{2n-1}}）$，
∴S_2n-1=1+$\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{3}^{2n-1}}）$，
∴a_2n=S_2n-S_2n-1=$\frac{3}{8}（1-\frac{1}{{3}^{2n}}）$-[1+$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{2n-1}}$）]，
∴$\lim_{n→∞}{a_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3}{8}（1-\frac{1}{{3}^{2n}}）$-[1+$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{2n-1}}$）]=$\frac{3}{8}-1-\frac{1}{8}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案为：$-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列有第2n项的极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用．