题目内容

已知方程（ $数学公式$ ）^x= $数学公式$ 的解x∈（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），则正整数n=________．

2
分析：先将方程的根的问题转化为函数的零点问题，再判断函数的单调性确定若存在零点，则只有一个，最后利用零点存在性定理，证明零点所在的范围，对照已知求得n值
解答：方程（ $\text{[math]}$ ）^x= $\text{[math]}$ 的解即函数f（x）=（ $\text{[math]}$ ）^x- $\text{[math]}$ 的零点
∵y=（ $\text{[math]}$ ）^x为定义域上的减函数，y=- $\text{[math]}$ 为定义域上的减函数
∴函数f（x）为定义域R上的单调减函数
又∵f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，（考虑幂函数y= $\text{[math]}$ 为R上的增函数）
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0，（考虑指数函数y=（ $\text{[math]}$ ）^x为R上的减函数）
即f（ $\text{[math]}$ ）×f（ $\text{[math]}$ ）＜0
∴函数f（x）=（ $\text{[math]}$ ）^x- $\text{[math]}$ 在区间（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上有且只有一个零点
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即n=2
故答案为 n=2
点评：本题考查了方程的根与函数零点间的关系，零点存在性定理，二分法求函数的零点的范围，指数函数与幂函数的单调性