Question

17．已知数列{a_n}，满足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$为等差数列；
（Ⅱ）设${T_{2n}}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}-\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}-\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}-\frac{1}{{{a_{2n}}{a_{2n+1}}}}$，求T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：根据数列的递推公式得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$，即可得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，问题得以解决，
方法二：根据数列的递推公式得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$）-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，问题得以解决，
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$-$\frac{1}{{a}_{2n}{a}_{2n+1}}$=（$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）$\frac{1}{{a}_{2n}}$，得到{b_n}是首项b₁=-$\frac{20}{9}$，公差为-$\frac{16}{9}$的等差数列，再根据等差数列的求和公式计算即可．

解答 证明（Ⅰ）：法一：由${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
法二：由${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$）-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
（Ⅱ）解：设b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$-$\frac{1}{{a}_{2n}{a}_{2n+1}}$=（$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）$\frac{1}{{a}_{2n}}$，
由（Ⅰ）得，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$=-$\frac{4}{3}$，
即b_n=（$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）$\frac{1}{{a}_{2n}}$=-$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{a}_{2n}}$，
∴b_n+1-b_n=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{a}_{2n+2}}$-$\frac{1}{{a}_{2n}}$）=-$\frac{4}{3}$×$\frac{4}{3}$=-$\frac{16}{9}$，
且b₁=-$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{3}$）=-$\frac{20}{9}$
∴{b_n}是首项b₁=-$\frac{20}{9}$，公差为-$\frac{16}{9}$的等差数列，
∴T_2n=b₁+b₂+…+b_n=-$\frac{20}{9}$n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{16}{9}$）=-$\frac{4}{9}$（2n²+3n）

点评 本题以递推数列为背景考查等差数列的判定以及利用基本量的求和运算，（Ⅰ）重点考查利用数列递推形式构造等差或等比数列以及等差数列的判定方法；（Ⅱ）主要考查数列求和应首先探寻通项公式，通过分析通项公式的特征发现求和的方法．