Question

11．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=2时，且函数f（x）满足f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求证x₁+x₂＞4．
（参考公式：[ln（m-x）]'=$\frac{1}{x-m}$，m为常数）

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x＞0，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．
（2）当a=2时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$．不妨令x₁＜x₂，要证明x₁+x₂＞4，即证x₂＞4-x₁．只需证f（x₁）＞f（4-x₁）．设g（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-ln（4-x）-$\frac{2}{4-x}$，g′（x）=$\frac{-8（x-2）^{2}}{{x}^{2}（x-4）^{2}}$≤0，由此能证明x₁+x₂＞4．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x＞0，
当a≤0时，f′（x）≥0总成立；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a．
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0．当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．
综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
证明：（2）当a=2时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$．不妨令x₁＜x₂，
要证明x₁+x₂＞4，即证x₂＞4-x₁．
由（1）知f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
则0＜x₁＜2，x₂＞2，只需证f（x₂）＞f（4-x₁），有f（x₁）=f（x₂），即证f（x₁）＞f（4-x₁）．
设g（x）=f（x）-f（4-x），（0＜x＜2），
则令g（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-ln（4-x）-$\frac{2}{4-x}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x-4}$-$\frac{2}{（x-4）^{2}}$=$\frac{-8（x-2）^{2}}{{x}^{2}（x-4）^{2}}$≤0，
那么g（x）在（0，2）内单调递减，g（x）＞g（2）=0，
故证得f（x₁）＞f（4-x₁）．
∴x₁+x₂＞4．

点评 本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．