Question

已知函数f（x）是定义在R上的函数且满足f（x+

3

2

）=-f（x）．若x∈（0，3）时f（x）=log₂（3x+1），则f（2011）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件确定函数的周期为3，利用函数周期性进行转化即可．

解答： 解：由f（x+

3

2

）=-f（x），得f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
即函数f（x）的周期为3．
则f（2011）=f（670×3+1）=f（1），
∵x∈（0，3）时，f（x）=log₂（3x+1），
∴f（2011）=f（1）=log₂（3+1）=log₂4=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性是解决本题的关键．