Question

椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C₂：=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C₁分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点，若能，求出此时双曲线C₂的离心率，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．由S_△ACD=S_△PCD，知C为AP的中点，．将C点坐标代入椭圆方程，得，由此能够推导出．
（2）由，把直线PD：代入⇒2x²-3ax+a²=0．由此入手能够导出可使CD过椭圆C₁的右焦点，此时C₂的离心率为．
解答：解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．
∵S_△ACD=S_△PCD，
∴C为AP的中点，∴．
将C点坐标代入椭圆方程，得，
又，
∴x=2a（x=-a舍去），
∴，
∴．
（2）∵，
直线PD：代入⇒2x²-3ax+a²=0
∴，
∴
∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C₁的右焦点，则，
∴，
∴．故可使CD过椭圆C₁的右焦点，此时C₂的离心率为．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．