Question

15．已知a∈R，函数f（x）=$\frac{a}{x}+lnx-1，g（x）=（lnx-1）{e^x}$+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）判断函数f（x）在区间（0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求导，由此进行分类讨论，能得到函数f（x）在（0，e]上的单调性．
（2）对g（x）求导，由（1）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，由此能导出不存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，∴x∈（0，+∞），∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增；
若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．
（2）解：∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1
=$\frac{{e}^{x}}{x}$+（lnx-1）e^x+1
=（$\frac{1}{x}$+lnx-1）e^x+1，
由（1）易知，当a=1时，f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，
即x₀∈（0，+∞）时，$\frac{1}{{x}_{0}}$+lnx₀-1≥0，
又${e}^{{x}_{0}}$＞0，
∴g′（x₀）=（$\frac{1}{{x}_{0}}$+lnx₀-1）${e}^{{x}_{0}}$+1≥1＞0．
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（0）=0有实数解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解．故不存在．

点评 本题考查函数单调性的判断，考查实数是否存在的判断，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．