Question

10．已知函数f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=$\frac{1}{4}$，a=$\sqrt{3}$，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式可得：函数f（x）=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{4}$．由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，可得$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$，即可得出．
（II）由于f（A）=$\frac{1}{4}$，代入可得$\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，化为：$sin（2A-\frac{π}{6}）$=1，可得A．由于sinB=2sinC，利用正弦定理可得：b=2c．再利用余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，解得c，b，即可得出．

解答 解：（I）函数f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）=cosx$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x$-$\frac{1+cos2x}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{4}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，∴$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．
∴函数f（x）的值域为$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}]$．
（II）∵f（A）=$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，化为：$sin（2A-\frac{π}{6}）$=1，
∵A∈（0，π），∴$2A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinC，∴b=2c．
∴a²=b²+c²-2bccosA，
∴（$\sqrt{3}$）²=5c²-4c²×$cos\frac{π}{3}$，解得c=1．
b=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$×2×1×$sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．