题目内容

11.已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为4,∠ASB=30°,过点A作截面与侧棱SB、SC、SD分别交于E、F、G,则截面AEFG周长的最小值是4$\sqrt{3}$.

分析 将正四棱锥S-ABCD展开,得到六边形SABCDA'.连结AA',分别交SB、SC、SD于E、F,G,可得截面△AEFG周长的最小值等于线段AA'长,根据余弦定理加以计算,可得答案.

解答 解:将正四棱锥S-ABCD展开,得到六边形SABCDA'.
连结AA',分别交SB、SC、SD于E、F,G
再将展开图围成三棱锥S-ABC的侧面得到△AEF,即为周长最小的截面三角形,
由此可得截面△AEFG周长的最小值等于线段AA'长.
∵正四棱锥S-ABCD侧棱长为4,∠ASB=30°,∴∠ASA'=4×30°=120°.
∴由余弦定理可得AA′=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}-2×4×4×(-\frac{1}{2})}$=4$\sqrt{3}$
即截面△AEFG周长的最小值为4$\sqrt{3}$.
故答案为:4$\sqrt{3}$.

点评 本题已知正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角,在侧棱长为4的条件下求截面的周长最小值,着重考查了正四棱锥的性质、余弦定理和多面体的侧面展开图等知识,属于中档题.

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