题目内容
11.已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为4,∠ASB=30°,过点A作截面与侧棱SB、SC、SD分别交于E、F、G,则截面AEFG周长的最小值是4$\sqrt{3}$.分析 将正四棱锥S-ABCD展开,得到六边形SABCDA'.连结AA',分别交SB、SC、SD于E、F,G,可得截面△AEFG周长的最小值等于线段AA'长,根据余弦定理加以计算,可得答案.
解答 解:将正四棱锥S-ABCD展开,得到六边形SABCDA'.
连结AA',分别交SB、SC、SD于E、F,G
再将展开图围成三棱锥S-ABC的侧面得到△AEF,即为周长最小的截面三角形,
由此可得截面△AEFG周长的最小值等于线段AA'长.
∵正四棱锥S-ABCD侧棱长为4,∠ASB=30°,∴∠ASA'=4×30°=120°.
∴由余弦定理可得AA′=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}-2×4×4×(-\frac{1}{2})}$=4$\sqrt{3}$
即截面△AEFG周长的最小值为4$\sqrt{3}$.
故答案为:4$\sqrt{3}$.
点评 本题已知正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角,在侧棱长为4的条件下求截面的周长最小值,着重考查了正四棱锥的性质、余弦定理和多面体的侧面展开图等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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| A. | $\frac{2}{3}$ | B. | 1 | C. | $\frac{4}{3}$ | D. | 2 |
20.
某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如表:
(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;两个变量y与x的回归模型中,分别选择了2个不同模型,模型①:$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}x$+$\stackrel{∧}{a}$,模型②:$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{c}$$\sqrt{x}$+$\stackrel{∧}{d}$,求$\stackrel{∧}{a}$,$\stackrel{∧}{b}$,$\stackrel{∧}{c}$,$\stackrel{∧}{d}$(精确到0.1);
(Ⅱ)比较两个不同的模型的相关指数R12,R22,指出哪种模型的拟合效果最好,并说明理由.
附:回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$,$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b\overline{x}}$,其中$\overline{x}$,$\overline{y}$为样本平均数,令z=$\sqrt{x}$,则$\sum_{i=1}^{4}$ziyi=26.8,$\overline{z}$=1.8,$\sqrt{2}$≈1.4,$\sqrt{3}$≈1.7,$\sqrt{5}$≈2.2,R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-{\stackrel{∧}{y}}_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}$.
| 零件的个数x(个) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 加工的时间y(小时) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(Ⅱ)比较两个不同的模型的相关指数R12,R22,指出哪种模型的拟合效果最好,并说明理由.
附:回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$,$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b\overline{x}}$,其中$\overline{x}$,$\overline{y}$为样本平均数,令z=$\sqrt{x}$,则$\sum_{i=1}^{4}$ziyi=26.8,$\overline{z}$=1.8,$\sqrt{2}$≈1.4,$\sqrt{3}$≈1.7,$\sqrt{5}$≈2.2,R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-{\stackrel{∧}{y}}_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}$.