Question

13．定义在R上的函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，已知a_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…f（$\frac{n-1}{n}$）（n≥2），a_n=$\frac{n-1}{2}$（n≥2）．

Answer 1

分析 先求出f（x）+f（1-x）=1，从而求出a_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{2}$）的值即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（1-x）
=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$
=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{\frac{4}{{4}^{x}}}{\frac{4}{{4}^{x}}+2}$
=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{{4}^{x}+2}$
=1．
∴a_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{2}$）
=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{2}$）]+…
=$\frac{n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{n-1}{2}$，
故答案为：$\frac{n-1}{2}$．

点评 本题考察了转化思想，考察求函数值问题，是一道中档题．