Question

13．如图，A、B是离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个顶点，且AB=$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D．证明：△OCM的面积等于△ODN的面积．

Answer 1

分析 （1）根据离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AB=$\sqrt{5}$，即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）l∥AB，设l的方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+m，△＞0，求得m的取值范围且m≠0，由x₁+x₂=2m，分别表示出△OCM的面积等于△ODN的面积，即可求得△OCM的面积等于△ODN的面积．

解答 解：（1）设椭圆焦距2c，依题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由AB=$\sqrt{5}$，即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由a²=b²+c²，
代入即可求得a=2，b=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
（2）证明：l∥AB，设l的方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+m，
将其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，消去y，整理得：x²-2mx+2m²-2=0，
△=4m²-4（2m²-2）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
∵l不过原点，
∴-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，m≠0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=2m，
：△OCM的面积S₁，△ODN的面积S₂，
可知：M（2m，0），N（0，m）
x₂=2m-x₁，
S₂=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨x₂丨=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨2m-x₁丨，
S₁=$\frac{1}{2}$丨2m丨•丨y₁丨=丨2m丨•丨-$\frac{1}{2}$x₁+m丨=$\frac{1}{2}$丨m丨丨2m-x₁丨，
∴S₁=S₂．
△OCM的面积等于△ODN的面积．

点评 本题考查椭圆标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，属于中档题．