Question

如图，等腰梯形ABEF中，AB//EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直.

（1）求证：AF⊥平面CBF；

（2）在棱FC上是否存在点M，使得OM//平面DAF?

（3）求点A到平面BDF的距离.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）M为CF的中点;（3）;

【解析】

试题分析：（1）依题意CB⊥平面ABEF,故CB⊥AF,而AF⊥BF,由判定定理知AF⊥平面CBF；（2）取CF的中点M,BF的中点N,易得平面OMN||平面ADF,从而OM//平面DAF；（3）过A 作AH⊥DF于H,由题意可证AH⊥平面DBF,而AH=,故点A到平面BDF的距离为.

试题解析：（1）

∴CB⊥AF，AF⊥BF，

∴AF⊥面CBF

（2）取CF的中点M,BF的中点N, 连OM,ON,MN,则MN||BC||AD

∴MN||平面ADF

又∵ON||AF,∴ON||平面ADF ∵MNON=N ∴平面OMN||平面ADF ∴OM||平面AFD.

（3）过A 作AH⊥DF于H..

∵AD ⊥平面ABEF ∴AD⊥BF 又因为AF⊥BF，AD=A ∴BF⊥平面ADF

∵平面ADF ∴AH⊥BF 又AH⊥DF, DFBF=F ∴AH⊥平面BDF

∴AH为A到平面BDF的距离. 在中，AD=AF=1，所以AH=.

考点：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质与应用