Question

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）（c＞0），右准线为l：x=，|AF|=3，过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长PB交右准线l于M点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若=-17，求△PBQ的面积S；
（Ⅲ）若=（λ≠0，λ≠-1），问是否存在实数μ=f（λ），使得，若存在，求出μ=f（λ）的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接由题意列出关于a，b，c的方程组，求解后可得双曲线的方程；
（Ⅱ）设出直线PQ的方程和P，Q的坐标，联立直线和双曲线方程后利用=-17结合根与系数关系求出直线的斜率，利用弦长公式求得弦长，代入三角形的面积公式求解；
（Ⅲ）由点斜式写出PB的方程，取x=得到M的坐标，结合=把点P和Q的坐标化为含有λ的表达式，利用响亮的坐标加减法得到和，通过一系列的整理变形得到两向量共线．
解答：解：（Ⅰ）由题意知⇒，
则双曲线方程为；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意知F（2，0），A（-1，0），B（1，0）．
有准线l：
设PQ方程为y=k（x-2），代入双曲线方程3x²-y²-3=0，
可得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0．
由于P、Q都在双曲线右支上，所以
⇒k²＞3
∴=
由于
由⇒⇒k²=4
此时，x₁+x₂=16，x₁x₂=19，y₁y₂=-36
∴y₁+y₂=k（x₁-2）+k（x₂-2）=k（x₁+x₂-4）=12k
∴S
=
（III）存在实数μ满足题设条件
∵PB的方程为
令，得，即M（）
∵，∴（2-x₁，-y₁）=λ（x₂-2，y₂）
即⇒
又⇒③
把③代入②得，④
由①、④得：
又
∴
=
=
=
=
=．
令，∴
故存在实数μ，满足题设条件．
点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了平行向量与共线向量，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量在解题中的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查了学生的计算能力，属于高考试卷中的压轴题．