题目内容

已知数列{
ann
}是等比数列，且a2=18，a5=1215．
（I）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
分析：（Ⅰ）由数列{
an
n
}是等比数列，设该数列的公比为q，则
a5
5
=
a2
2
•q3，又a2=18，a5=1215，可求得q=3，从而可求得an．
（Ⅱ）设Sn=a1+a2+a3+…+an，则Sn=3+2×32+3×33+…+n•3n，利用错位相减法即可求得Sn的值．
解答：解（I）：由题意得：数列{
an
n
}是等比数列，设该数列的公比为q，
则
a5
5
=
a2
2
•q3…2′
又a2=18，a5=1215，
∴q3=27，q=3…4′
∴
an
n
=
a2
2
•qn-2，
∴an=n•3n…6′
（Ⅱ）设Sn=a1+a2+a3+…+an，
则Sn=3+2×32+3×33+…+n•3n，①
∴3Sn=32+2×33+…+（n-1）•3n+n•3n+1②…8′
①-②
-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1…10′
=
3(1-3n)
1-3
-n•3n+1
=
1-2n
2
•3n+1-
3
2
，
∴Sn=
(2n-1)3n+1+3
4
…12′
点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与错位相减法求和，求得an=n•3n是关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an} 是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和．
（1）若a2，a3，a6依次成等比数列，求其公比q；
（2）若
OPn
=(n，
Sn
n
)(n∈N*)，求证：对任意的m，n∈N*，向量
PmPn
与向量
b
=(2，d)共线；
（3）若a1=1，d=
1
2
，
OQn
=(
an
n
，
Sn
n2
)(n∈N*)，问是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的n∈N*，点Qn都在这个圆内或圆周上．
（2013•嘉定区一模）定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．已知数列{an}前n项的“倒平均数”为
1
2n+ 4
，记cn=
an
n+1
（n∈N*）．
（1）比较cn与cn+1的大小；
（2）设函数f（x）=-x2+4x，对（1）中的数列{cn}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{bn}满足b1=1，b2=b（b∈R且b≠0），bn=|bn-1-bn-2|（n∈N*且n≥3），且{bn}是周期为3的周期数列，设Tn为{bn}前n项的“倒平均数”，求
lim
n→∞
Tn．
（2010•九江二模）已知数列{an}满足：①{
an
n
}是公差为1的等差数列；②an+1=
n+2
n
an+1．(n∈N+)
（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设Cn=
2
n
an
(n≥2)，求证：C1+C2+C3+…+Cn＜6．
已知数列{an}满足：{
an
n
}是公差为1的等差数列，且an+1=
n+2
n
an+1．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求证：
1
a2
+
1
2a3
+…+
1
nan+1
＜2．

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