题目内容

8．若$sinx+cosx=\frac{1}{3}$，x∈（0，π），则sinx-cosx的值为$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

分析 由题意可得sinxcosx=-$\frac{4}{9}$，且sinx＞0，cosx＜0，再根据sinx-cosx=$\sqrt{{（sinx-cosx）}^{2}}$，计算求得结果．

解答 解：若$sinx+cosx=\frac{1}{3}$，x∈（0，π），∴平方可得1+2sinxcosx=$\frac{1}{9}$，
∴sinxcosx=-$\frac{4}{9}$，∵sinx＞0，cosx＜0，
则sinx-cosx=$\sqrt{{（sinx-cosx）}^{2}}$=$\sqrt{1-2sinxcosx}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

练习册系列答案
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18．设f（x）为定义R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（-3）=0，则f（-4），f（-1），f（2），f（π）四个数中大于零的数的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
19．已知-2，a1，a2，-8成等差数列，2，b1，b2，b3，8成等比数列，则$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{{b}_{2}}$（　　）
A．$\frac{14}{\;}$B．$\frac{1}{2}$C．-$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，若${S_n}+n=\frac{3}{2}{a_n}$．
（Ⅰ）求证数列{an+1}是等比数列，并求an的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足${b_n}={a_n}+λ•{（-2）^n}$，且数列{bn}是递增数列，求λ的取值范围．
3．不等式$\frac{1}{x}＞2$的解集为（　　）
A．$（-∞，\frac{1}{2}）$B．（-∞，0）C．$（0，\frac{1}{2}）$D．$（\frac{1}{2}，+∞）$
13．已知函数f（x）的定义域为R，且对于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
（1）若x≥0时，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）x，求不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集；
（2）若f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=2x，求f（x）在区间[2015，2016]上的解析式．
20．设f（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+a，x∈R，a为常数．
（1）若f（x）为奇函数，求a；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义予以证明．
（3）在（1）的条件下，不等式f（x2-3x）+f（x-m+1）≤0对x≥0恒成立，求m的取值范围．
17．若sin（75°+α）=$\frac{1}{3}$，则cos（30°-2α）的值为（　　）
A．$\frac{1}{3}$B．-$\frac{1}{3}$C．$\frac{7}{9}$D．-$\frac{7}{9}$
18．在△ABC中，已知sinC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，试判断三角形的形状．

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