Question

已知在函数f（x）=

3

sin 

πx

R

图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x²+y²=R²上，则f（x）的最小正周期为

4

．

Answer 1

分析：由正弦函数的周期公式可求得其周期T=2R，依题意，（

1

2

R，

3

）与（-

1

2

，-

3

）在x²+y²=R²上，可求得R，从而可求得f（x）的最小正周期．

解答：解：∵f（x）=

3

sin

πx

R

，
∴其周期T=

2π

π R

=2R，
又（

1

2

R，

3

）与（-

1

2

，-

3

）为函数f（x）=

3

sin

πx

R

图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点，
由题意得：（

1

2

R，

3

）与（-

1

2

，-

3

）为x²+y²=R²上的点，
∴

R2

4

+3=R²，
∴R²=4，
∴R=2．
∴f（x）的最小正周期为4．
故答案为：4．

点评：本题考查正弦函数的周期性与最值，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．