Question

2．A高校自主招生设置了先后三道程序，部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试，在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中，若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序，考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过，某中学学生甲参加A高校自主招生考试，已知该生在每道程序中得优、良、中的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（1）求学生甲能通过A高校自主招生考试的概率；
（2）求学生甲在本次自主招生中获优次数为0的概率；
（3）设ξ为学生甲在本次自主招生中通过的程序次数，求ξ得分布列及ξ的期望．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用相互独立事件概率乘法公式能求出学生甲能通过A高校自主招生考试的概率．
（2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出学生甲在本次自主招生中获优次数为0的概率；
（3）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由题意，学生甲能通过A高校自主招生考试的概率：
p₁=$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$；
（2）学生甲在本次自主招生中获优次数为0的概率：
p₂=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{9}{16}$；
（3）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$

Eξ=$0×\frac{1}{4}+1×\frac{3}{16}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{27}{64}$=$\frac{111}{64}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．