Question

3．已知函数f（x）=3sin$\frac{x}{2}$-4cos$\frac{x}{2}$的图象关于直线x=θ对称，则sinθ=-$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 根据余弦函数的对称轴公式列方程解出θ．再根据诱导公式和二倍角公式即可求出

解答 解：函数f（x）=3sin$\frac{x}{2}$-4cos$\frac{x}{2}$=5sin（$\frac{x}{2}$-φ），其中sinφ=$\frac{4}{5}$，cosφ=$\frac{3}{5}$，
∵函数f（x）=3sin$\frac{x}{2}$-4cos$\frac{x}{2}$的图象关于直线x=θ对称，
∴$\frac{x}{2}$-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，
∴x=π+2kπ+2φ=θ，
∴sinθ=sin（π+2kπ+2φ）=-sin2φ=-2sinφcosφ=-2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{24}{25}$，
故答案为：-$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了函数的图象变换，三角函数的对称轴公式，属于基础题．