Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c-b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，且a=$\sqrt{3}$，请判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知可得2cosAsinB=sinB，由sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用特殊角的三角函数值可求sinA，利用三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理解得b²+c²=6，从而解得b=c=a=$\sqrt{3}$，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2acosB=2c-b，由正弦定理，可得：2sinAcosB=2sinC-sinB，
又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…（2分）
∴2cosAsinB=sinB，在△ABC中，sinB≠0，故cosA=$\frac{1}{2}$，…（4分）
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）△ABC是等边三角形，理由如下：
∵由（Ⅰ）可知A=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．解得bc=3，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，解得b²+c²=6…（10分）
解得：c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴△ABC是等边三角形…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．