Question

若不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，

1

2

]成立，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，

1

2

]成立转化为a≥

-1-x2

x

=-

1

x

-x对一切x∈（0，

1

2

]恒成立，通过构造函数g（x）=-

1

x

-x，利用导数法可判断其在区间（0，

1

2

]上的单调性，易求g（x）_max=-

5

2

，从而可得答案．

解答： 解：不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，

1

2

]成立?a≥

-1-x2

x

=-

1

x

-x对一切x∈（0，

1

2

]恒成立，
令g（x）=-

1

x

-x（0＜x≤

1

2

），则a≥g（x）_max．
∵0＜x≤

1

2

，
∴g′（x）=

1

x2

-1＞0，
∴g（x）=-

1

x

-x在（0，

1

2

]上单调递增，
∴g（x）_max=g（

1

2

）=-2-

1

2

=-

5

2

，
∴a≥-

5

2

，
∴实数a的最小值为-

5

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与构造函数思想的综合应用，考查导数法判断函数的单调性及求最值，属于中档题．