Question

设F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，且|PF₁|=2a，∠F1PF2=

π

3

，则该双曲线的离心率e的值是______．

Answer 1

∵P为双曲线上一点，且|PF₁|=2a，∴点P必在双曲线的左支上，∴|PF₂|-|PF₁|=2a，∴|PF₂|=4a．．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1| |PF2|cos

π

3

，
即(2c)2=(2a)2+(4a)2-2×2a×4acos

π

3

．
化为c²=3a²，∴

c

a

=

3

．
∴e=

c

a

=

3

．
故答案为

3

．