Question

2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设点P在线段CC₁上，直线DP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]
• C． [$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1]
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sinα的取值范围．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1．
则D（0，0，0），A₁（1，0，1），
B（1，1，0），设P（0，1，t），
（0≤t≤1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，1，t），
设平面BDA的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，
得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∵直线DP与平面A₁BD所成的角为α，
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+t}{\sqrt{3}•\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
当t=0时，sinθ取最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$；当t=1时，sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinα的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查线面角的正弦值的取值范围的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．