Question

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x+1）=f（1-x）且当x∈[0，1]时，f（x）=log₂（x+1），则f（31）=-1．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为4的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．

解答 解：∵奇函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），即有f（x+2）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（31）=f（32-1）=f（-1）=-f（1）=-log₂2=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期性，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．