Question

4．已知P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点，点C为椭圆E上一点，且满足$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$（λ≠0），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，由此能求出椭圆E的离心率e的值；
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\\{y=x+c}\end{array}\right.$，得5x²+8cx+8b²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由此利用韦达定理、点差法，结合已知条件能求出λ值．

解答 解：（1）∵P（x₀，y₀）（x₀≠a）是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∵M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，
∴a²=4b²，c²=3b²，
得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\\{y=x+c}\end{array}\right.$，
得5x²+8cx+8b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8c}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{b}^{2}}{5}$，
再设C（x₃，y₃），
由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$，得x₃=λx₁+x₂，y₃=λy₁+y₂，
由于C为椭圆上的点，即${{x}_{3}}^{2}+4{{y}_{3}}^{2}=4{b}^{2}$，
则（λx₁+x₂）²+4（λy₁+y₂）²=4b²，
整理得：${λ}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}）+（{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}）+2λ$（x₁x₂+4y₁y₂）=4b² ①，
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆上，即${{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4{b}^{2}，{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=4{b}^{2}$，
又x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（x₁+c）（x₂+c）
=5x₁x₂+4c（x₁+x₂）+4c²
=$5•\frac{8{b}^{2}}{5}+4c（-\frac{8c}{5}）+4{c}^{2}$=$8{b}^{2}-\frac{12{c}^{2}}{5}=\frac{4{b}^{2}}{5}$，
代入①得$4{b}^{2}{λ}^{2}+4{b}^{2}+2λ•\frac{4{b}^{2}}{5}=4{b}^{2}$，
即${λ}^{2}+\frac{2}{5}λ=0$，
解得：λ=0，或λ=-$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查椭圆E的离心率e的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量法在求解圆锥曲线问题中的应用，考查运算能力，是中档题．