Question

（12分）已知动圆M过定点F（0，﹣），且与直线y=相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点为F，点A（1，）在椭圆N上．

（1）求动圆圆心M的轨迹Γ的方程及椭圆N的方程；

（2）若动直线l与轨迹Γ在x=﹣4处的切线平行，且直线l与椭圆N交于B，C两点，试求当△ABC面积取到最大值时直线l的方程．

 

Answer 1

（1）．；（2）y=x±2．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，﹣）为焦点，直线y=为准线的抛物线，由此可得轨迹Γ的方程；设出椭圆方程，利用点A（1，）在椭圆N上，可得椭圆N的方程；

（2）设出切线方程，代入椭圆方程，求得|BC|，点A到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式，即可求得△ABC面积取到最大值时直线l的方程．

【解析】
（1）过圆心M作直线y=的垂线，垂足为H．

由题意得，|MH|=|MF|，由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，﹣）为焦点，直线y=为准线的抛物线，

其方程为．

设椭圆方程为，将点A代入方程

整理得a4﹣5a2+4=0，解得a2=4或a2=1（舍去）

故所求的椭圆方程为；

（2）轨迹Γ的方程为，即，则，所以轨迹轨迹Γ在x=﹣4处的切线斜率为k=，

设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程整理得4x2+2mx+m2﹣4=0

因为△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2；

设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=

所以BC|=×=×

∵点A到直线的距离为d=，所以S△ABC=×××=≤

当且仅当，即m=±2时等号成立，此时直线l的方程为y=x±2．