Question

17．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，点 M（-2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于 A，B两点，若∠AMB=90°，则k=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 写出直线的点斜式方程，与抛物线方程联立得出A，B两点的坐标关系，根据k_AM•k_BM=-1列方程解出k．

解答 解：抛物线焦点F（2，0），设直线AB的方程为y=k（x-2），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消元得k²x-（4k²+8）x+4k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=-16．
∵∠AMB=90°，∴k_AM•k_BM=-1，即$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}+2}=-1$．
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+4+x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=0．
∴-16-$\frac{16}{k}$+4+4+2（4+$\frac{8}{{k}^{2}}$）+4=0，整理得：k²-4k+4=0，
解得k=2．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．