Question

9．已知函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），给出下列命题：
①函数f（x）有最小值；
②当a=0时，函数f（x）的值域为R；
③若函数f（x）在区间（-∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是a≤-4．
其中正确的命题是②．

Answer 1

分析 根据如果x²+ax-a-1＜0有解，可判断函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），的值域为R，无最小值，
②当a=0时求出值域为R，③运用$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤2}\\{4+2a-a-1＞0}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），
∴①如果x²+ax-a-1＜0有解，
则函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），的值域为R，无最小值，故①不正确，
②当a=0时，函数f（x）=lg（x²-1）（a∈R），定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），值域为R，
故②正确．
③若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤2}\\{4+2a-a-1＞0}\end{array}\right.$解得：a＞-3，
故③不正确，
故答案为：②

点评 本题考查对数函数的性质，涉及二次函数的性质和反函数，属中档题．