Question

f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1），
（1）求f（log₂x）的最小值；
（2）当x取何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1），我们可以构造一个关于a，b的方程组，解方程组，求出满足条件的a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式，结合对数函数的值域和二次函数的最小值，即可求出f（log₂x）的最小值；
（2）联立f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．我们可以得到一个关于x的不等式组，根据对数的运算性质及一元二次不等式的解法，解不等式组，即可得到满足条件的x的取值范围．

解答：解：（I）∵log₂f（a）=2
∴f（a）=4，即a²-a+b=4①
又∵f（log₂a）=b，
∴（log₂a）²-（log₂a）=+b=2②
解得：a=2，b=2
∴f（x）=x²-x+2，
因为log₂x∈R，
所以当x=

2

时，f（log₂x）取最小值为

7

4

（4分）
（II）若f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．
则f（log₂x）²-log₂x＞0且x²-x＜2
解得x∈（0，1）

点评：本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，对数函数的单调性与特殊点，其中根据已知条件构造一个关于a，b的方程组，解方程组，求出满足条件的a，b的值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答本题的关键．