Question

11．已知点P是直线l：kx+y-2=0上一动点，PA、PB是圆C：x²+y²+2y=0的两条切线，A、B是切点．若四边形PACB的最小面积为$\sqrt{2}$，则k=$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．．

解答 解：∵圆的方程为：x²+（y+1）²=1，
∴圆心C（0，-1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为$\sqrt{2}$，
∴PA=PB═$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线l的距离为d=$\sqrt{3}$．
∵直线kx+y-2=0，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得k=±$\sqrt{2}$，
所求直线的斜率为$±\sqrt{2}$
故答案为：$±\sqrt{2}$．

点评 本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题．