Question

5．已知一个扇形的周长为l，则扇形的面积最大值为$\frac{{l}^{2}}{16}$．

Answer 1

分析 设扇形的圆心角为θ，半径为r．可得：2r+θr=l．解得θ=$\frac{l-2r}{r}$＞0．可得S=$\frac{1}{2}θ{r}^{2}$=$\frac{1}{4}$（l-2r）2r，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r．
则2r+θr=l．
∴θ=$\frac{l-2r}{r}$＞0．
∴S=$\frac{1}{2}θ{r}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{l-2r}{r}$×r²=$\frac{1}{4}$（l-2r）2r≤$\frac{1}{4}（\frac{l-2r+2r}{2}）^{2}$=$\frac{{l}^{2}}{16}$，当且仅当r=$\frac{l}{4}$时取等号．
故答案为：$\frac{{l}^{2}}{16}$．

点评 本题考查了扇形面积计算公式、弧长公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．