Question

6．y=x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$的值域为[-3，3$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，设x=3cosθ，0≤θ≤π利用换元法转进行转化，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．

解答 解：由9-x²≥0得x²≤9，得-3≤x≤3，
设x=3cosθ，0≤θ≤π，
则y=x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$=3cosθ+$\sqrt{9-9cos^2θ}$=3cosθ+3sinθ=3$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵0≤θ≤π，
∴$\frac{π}{4}$≤θ+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
则-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
-3≤3$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤3$\sqrt{2}$，
即-3≤y≤3$\sqrt{2}$，
则函数的值域为[-3，3$\sqrt{2}$]，
故答案为：[-3，3$\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查函数值域的计算，利用三角换元法转化为三角函数问题，利用辅助角公式结合三角函数的有界性是解决本题的关键．