Question

1．已知各项为正数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，a₂•a₃=S₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{S_n}-n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知根据等差数列通项公式及性质：（3+d）（3+2d）=5（3+2d），求得d，即可求得其通项公式；
（2）根据等差数列前n项和公式求得S_n，求得b_n，采用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，由a₂•a₃=S₅，即（3+d）（3+2d）=5（3+2d），
解得d=2或$d=-\frac{3}{2}$（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
（2）由（1）可知：S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+2），
b_n=$\frac{1}{{{S_n}-n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的求解，解题时要认真审题，注意“裂项法”的合理运用，注意解题方法的积累，属于中档题．