Question

已知一口袋中分别装了3个白色、2个红色、n个黑色玻璃球，现从中任取2个玻璃球观察，每抽到一个白色球得1分，红色球得2分，黑色球得0分．用X表示所得的总分，已知共得0分的概率为

1

6

（1）求袋中黑色球的个数n；   
（2）求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由得0分的概率为

1

6

，知

C 2 n

C 2 (3+2+n)

=

1

6

，由此能求出袋中黑色球的个数．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（1）∵得0分的概率为

1

6

，
∴

C 2 n

C 2 (3+2+n)

=

1

6

，
解得n=4．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C 2 4

C 2 9

=

1

6

，
P（X=1）=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，
P（X=2）=

C 2 3

C 2 9

+

C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，
P（X=3）=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，
P（X=4）=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	1 6	1 3	11 36	1 6	1 36

EX=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．