题目内容

20．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55．

分析 正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=$\frac{42-2x}{3+x}$＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x+$\frac{42-2x}{3+x}$+42=3$[（x+3）+\frac{16}{3+x}]$+31，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=$\frac{42-2x}{3+x}$＞0，x＞0，解得0＜x＜21．
则xy+5x+4y=3x+y+42=3x+$\frac{42-2x}{3+x}$+42=3$[（x+3）+\frac{16}{3+x}]$+31
≥3×$2\sqrt{（x+3）×\frac{16}{x+3}}$+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．
∴xy+5x+4y的最小值为55．
故答案为：55．

点评 本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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