某高中为适应“新高考模式改革 .满足不同层次学生的需要.决定从高一年级开始.在每周的周二.周四.周五的课外活动期间同时开设物理.化学.生物和信息技术辅导讲座.每位有兴趣的同学可以在任何一天参加任何一门科目的辅导讲座.也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规格:各科达到预定的人数时称为满座.否则称为不满座).统计数据表明.以上各学� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．某高中为适应“新高考模式改革”，满足不同层次学生的需要，决定从高一年级开始，在每周的周二、周四、周五的课外活动期间同时开设物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规格：各科达到预定的人数时称为满座，否则称为不满座），统计数据表明，以上各学科讲座各天满座的概率如表：

	物理	化学	生物	信息技术
周二	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}$
周四	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
周五	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$

（1）求一周内物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率；
（2）设周四各辅导讲座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

分析（Ⅰ）设物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座为事件A，由题意得利用对立事件概率计算公式能求出物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和EX．

解答解：（Ⅰ）设物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座为事件A，
由题意得：
物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率：
P（A）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{24}$．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$（1-\frac{1}{2}）^{3}×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{3}{32}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}×（1-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{6}{15}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$+${C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=$（\frac{1}{2}）^{3}×（1-\frac{1}{4}）+{C}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$×$（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（X=4）=$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{32}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{3}{32}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{32}$

∴EX=$0×\frac{3}{32}+1×\frac{6}{15}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{3}{16}+4×\frac{1}{32}$=$\frac{7}{4}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式的合理运用．

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18．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x³＞x${\;}^{\frac{1}{3}}$”的否定是（　　）

	A．	存在x₀∈（-∞，1]，使x${\;}_{0}^{3}$＜${x}_{0}^{\frac{1}{3}}$		B．	存在x₀∈（1，+∞），使x${\;}_{0}^{3}$＜${x}_{0}^{\frac{1}{3}}$
	C．	存在x₀∈（-∞，1]，使x${\;}_{0}^{3}$≤${x}_{0}^{\frac{1}{3}}$		D．	存在x₀∈（1，+∞），使x${\;}_{0}^{3}$≤${x}_{0}^{\frac{1}{3}}$