Question

5．等差数列{a_n}前n项和为S_n，已知（1-a₁₀₀₇）⁵-2017（a₁₀₀₇-1）=1，（1-a₁₀₁₁）⁵-2017（a₁₀₁₁-1）=-1，则（　　）

• A． S₂₀₁₇=2017，a₁₀₀₇＞a₁₀₁₁
• B． S₂₀₁₇=-2017，a₁₀₀₇＞a₁₀₁₁
• C． S₂₀₁₇=2017，a₁₀₀₇＜a₁₀₁₁
• D． S₂₀₁₇=-2017，a₁₀₀₇＜a₁₀₁₁

Answer 1

分析 （1-a₁₀₀₇）⁵-2017（a₁₀₀₇-1）=1，（1-a₁₀₁₁）⁵-2017（a₁₀₁₁-1）=-1，可得a₁₀₀₇＜1，a₁₀₁₁＞1，即a₁₀₁₁＞a₁₀₀₇，设a=a₁₀₀₇-1，b=a₁₀₁₁-1，则a＜0，b＞0，则条件等价为：a⁵+2015a=1，b⁵+2015b=-1，两式相加得（a+b）（a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴）+2015（a+b）=0，进而得出．

解答 解：∵（1-a₁₀₀₇）⁵-2017（a₁₀₀₇-1）=1，（1-a₁₀₁₁）⁵-2017（a₁₀₁₁-1）=-1，
∴a₁₀₀₇＜1，a₁₀₁₁＞1，即a₁₀₁₁＞a₁₀₀₇，
设a=a₁₀₀₇-1，b=a₁₀₁₁-1，
则a＜0，b＞0，
则条件等价为：a⁵+2015a=1，b⁵+2015b=-1，
两式相加得a⁵+b⁵+2015（a+b）=0，
即（a+b）（a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴）+2015（a+b）=0，
∴（a+b）（a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴+2015）=0，
∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，-ab＞0，
即a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴+2015＞0，
∴必有a+b=0，
即a₁₀₀₇-1+a₁₀₁₁-1=0，
∴a₁₀₀₇+a₁₀₁₁=2=a₁+a₂₀₁₇，
∴S₂₀₁₇=$\frac{2017（{a}_{1}+{a}_{2017}）}{2}$=2017．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．